Tu auras une IPv4 publique (la même qui est assignée à la box elle même), ainsi qu'une IPv6 publique par équipement connecté à la box.
En IPv4 il y a du NAT, donc pour donner accès à ton serveur web tu dois configurer du port forwarding au niveau de la box. En gros tu lui dit que le port X est forwardé au port Y de l'équipement Z. Sur la Livebox ça se fait dans Réseau -> NAT/PAT-> Vos règles personnalisées.
En IPv6 il n'y a pas de NAT mais la box bloque quand même par défaut tous les ports entrant, donc tu devras ouvrir un port au niveau de la box. Sur la Livebox ça se fait dans Pare-feu -> Ouverture de ports dans le pare-feu (pour équipements IPv6).
Ensuite pour le DDNS, la plupart (tous ?) les registrars en proposent. Tu peux faire les mises à jour à la main, ou automatiquement avec par exemple ddclient. La box peut aussi le faire, mais elle ne supporte qu'un nombre de services DDNS limité (dyndns, noip, changeip, ovh-dynhost et gnudip).
Cela dit, je ne sais pas quel est ton besoin mais plutôt que d'héberger chez toi tu peux peut-être aussi envisager de louer un VPS. Un petit VPS ça coûte moins de 5€ par mois, et tu as l'avantage d'avoir un truc disponible tout le temps. En plus tu ne payes pas l'électricité, et niveau sécurité, au cas où tu aurais un vuln sur son serveur au moins tu ne donnes pas accès à tout ton LAN.