1) Java Runtime Environnement, c'est la machine virtuelle dans laquelle sont exécutées les applications Java.
Java SE, c'est le langage lui-même, en fait l'environnement de développement (avec les librairies, les APIs etc..), qui est compilé ensuite en bytecodes pour être exécuté dans la machine virtuelle.
Une fois que la machine virtuelle est installée, sous n'importe quel OS, le même bytecode peut être exécuté, ce qui le rend indépendant de l'OS, ce qui était (est) l'un des grands intérêts de Java. Le code tourne inchangé sous tous les OS avec ce système.
2) Le plugin Java n'est plus supporté depuis la version 52 de Firefox, il y a plus d'un an (un point qui m'était sorti de l'esprit d'ailleurs). Comme pour d'autre navigateurs, Chrome, Opera.