En revanche, la livebox attribue une adresse en 169.254.x.x.

Problème de câblage.
Ce n'est pas la livebox qui attribue 169.254.x.x (adresse APIPA), mais la machine elle même quand elle ne reçoit pas d'addresse.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Automatic_Private_Internet_Protocol_Addressing
 

Est ce que les deux cables utilisés à chaque bout des prises on été testés ?

Si oui, il ne reste plus qu'a procéder par élimination, en :
1 - essayer d'autres prises
2 - changer le cable dans la gaine

Oui les 2 cables utilisés à chaque prise sont testés et fonctionnent (avec le testeur et en connexion directe de l'ordi à la livebox).
Changer le cable de la gaine, c'est carrément chaud, car je n'arrive même pas à le tirer un peu...

Je viens avec des nouvelles.
J'ai acheté des prises murales Schneider Electric Audace RJ45 Cat 6 STP pour remplacer les prises du bureau et du salon à côté de la box.
Je les ai branchées et là au test, seuls les diodes 1 2 7 8 clignotent. Manquent donc à l'appel 3 4 5 6 !
Le truc bizarre, c'est que j'ai remarqué une autre prise dans la cuisine. Lorsque je teste cette prise avec celle du bureau ou du salon, même chose, seules les lumières 1 2 7 8 s'allument.

Quelle installation a été faite dans cette maison ? 2 prises (bureau et cuisine) se rejoignent pour aller au salon ? C'est possible ? Les prises précédentes sont spécifiques, ce qui expliquent que je ne vois pas de marque ?
Le propriétaire qui a fait faire des travaux n'y connaît absolument rien. Pour exemple, il y avait des boitiers CPL avec wifi sans clé sécurisée.

Si les prises que tu as remplacées n'allument plus toutes les led, c'est que tu as mal raccordé les nouvelles prises, puisque de ce qu'ai compris avec les anciennes prise tu avais les 8 led dans l'ordre, non ?

Ben peut-être, mais comment expliquer autrement que le fait de changer uniquement les prises tu perdes 2 paires ?
ou alors tu nous dis pas tout 

Lors du remplacement des prises RJ-45, si vous avez coupé un peu les fils, il faut parfois vérifier qu'il y a bien contact entre le cuivre du fil et la broche dans laquelle on insère le fil. Des fois, il reste du plastique isolent autour et donc cela ne passe pas.