La définition rigoureuse est la suivante :(la fonction est f(x), définie sur l'ensemble D)
(limite finie L pour x tendant vers + l'infini) Pour tout epsilon >0, il existe A un réel tel que pour tout x appartenant à D, si x>A, alors |f(x)-L|<epsilon.
Il faut commencer par parler des suites avant les fonctions des réels. Tu mets la charrue avant les bœufs.
Autrement dit, on peut s'approcher autant qu'on veut de la limite : pour une distance à la limite, on peut trouver un indice à partir duquel toutes les valeurs prises par la suite sont à moins de cette distance.
On peut donc exprimer ça en terme de voisinage : pour tout voisinage contenant la limite, on peut trouver un indice à partir duquel toutes les valeurs prises par la suite sont dedans. Cela donne une généralisation directe pour le cas des limites infinies.
On peut aussi exprimer ça en terme de sup et d'inf : on prend sup de inf et inf de sup, qui sont égales
ssi la fonction a une limite. Cela traite du même coup le cas des limites infinies.
On sent bien qu'on retrouve la définition des réels à partir des fractions rationnelles.