Les modules optiques à utiliser entre votre box et votre switch sont de nature sensiblement différente de ceux qui connectent votre box au réseau extérieur. Vous ne réutiliserez donc probablement pas le module mis en photo (même si on ne le voit pas entièrement).
Il vous faut soit une paire de modules avec une fibre duplex entre. Soit un câble "DAC/AOC" qui comporte déjà l'équivalent mécanique des modules.

Par ailleurs un mode se réfère à des caractéristiques de l'onde électromagnétique qui est guidée dans la fibre. Ils ne sont pas incarnés par la présence de plusieurs fibres. Les connexions fréquentes, et les plus simples dans votre cas, utilisent deux fibres, une pour chaque sens de communication, indépendamment de l'existence de plusieurs ou d'un seul mode les parcourant. Ce sont des jarretières duplex par opposition à simplex (une seule fibre). Pour les modules sfp+ sur votre réseau local elles devront être munies de connecteurs dits LC (avec embout UPC pour les monomodes). De telles jarretières sont aussi adaptées aux ondes qui les parcourent. Et dans votre cas les modules SFP+ pour multimodes nécessiteront des fibres de type OM (OM4) et les modules SFP+ pour monomode des fibres de type OS (OS2). Vous pouvez utiliser l'un ou l'autre mais ne pas mélanger les types sur un même lien. Les distances couvertes débordent de l'utilisation domestique.

Pour ce qui est des câbles DAC etc..., la distance importe. Jusqu'à 7m en 10G, vous pouvez habituellement utiliser des DAC passifs, ce qui est la solution probablement la moins onéreuse et la plus solide mais inadaptée pour circuler dans les murs. Sinon il faut des câbles actifs soit cuivre, soit optiques mais je ne vous les indique pas.
A juger suivant votre situation mais si vous avez 20m à faire, il vaut mieux une fibre et des modules indépendants, si vous cassez la fibre vous n'avez pas tout à repayer, juste la jarretière. Le tout pour des tarifs relativement similaires.

10GBASE-SR avec fibre OM4 ou 10GBASE-LR avec fibre OS2.
A mon avis faites au moins cher de ce que vous trouvez actuellement.

Dans le deuxième cas, les 10Kms sont tout-à-fait standards et fonctionnent correctement aussi sur 20m, par contre il faut prendre ceux-là (10Kms) et uniquement ceux-là car au-delà les modules risquent de devenir trop puissants pour votre longueur.
Par exemple: https://www.fs.com/fr/products/40205.html et deux modules https://www.fs.com/fr/products/74670.html


Oui, il y a une polarité sur les fibres duplex mais lorsque le connecteur prend les deux fibres, fatalament il la fait respecter.
A ce sujet deux astuces éventuelles pour passer votre mur si cela vous aide:
- vous pouvez désolidariser les deux liens en achetant deux fois une fibre simplex si c'est plus facile à passer mais ce sera à vous d'assurer la bonne polarité. En ce cas je pense que vous ne trouverez que des fibres OS2 (à associer donc avec un module 10GBASE-LR) par exemple https://www.fs.com/fr/products/148555.html à sélectionner dans la bonne longueur.
- vous pouvez segmenter en interposant une traversée optique jointant deux jarretières. Quelle traversée prendre dépend un peu de votre contexte voire de l'esthétique voulue. En restant dans l'exemple monomode: https://www.fs.com/fr/products/61896.html que vous n'insèrerez probablement nulle part ou https://www.fs.com/fr/products/143313.html avec un petit boitier keystone pour l'accueillir.

Il y a d'autres manières et variantes pour une telle liaison mais ca vous donne un point de départ.

Non ce n'est pas bon puisque là vous essayez de lier des modules pour monomode avec une fibre multimodale.
Avec cette jarretière il faudrait les modules que vous aviez cités auparavant https://amzn.eu/d/9i8nd84
Sinon avec les modules LR, il vous faut une jarretière OS2.

C'est quoi la différence entre l'installation avec le LR et SR concrètement pour moi ? Ça influe sur les performances ?

Aucune différence significative dans votre cas.
Le plus important techniquement est que votre choix de module convienne à vos appareils réseaux. Si vous commandez sur Amazon, vérifiez votre aptitude à pouvoir retourner les modules en cas d'échec.
Sinon pour le reste, regardez les coûts.