Si c'est >epsilon alors ce n'est pas un epsilon!

(On dira que c'est pour vérifier si vous suiviez)

L'astuce du prof distrait...

De loin la série la plus nulle de l'histoire de la télé.

L'acteur principal mériterait le prix de l'acteur garanti sans charisme.

Oui, il faut utiliser un réducteur d'URL style huit.re, ...

J'aurais dû ajouter proprement et de manière pérenne dans ma phrase, les raccourcisseurs d'URL, c'est tellement moche comme solution 

La définition rigoureuse est la suivante :(la fonction est f(x), définie sur l'ensemble D)
(limite finie L pour x tendant vers + l'infini) Pour tout epsilon >0, il existe A un réel tel que pour tout x appartenant à D, si x>A, alors |f(x)-L|<epsilon.

Il faut commencer par parler des suites avant les fonctions des réels. Tu mets la charrue avant les bœufs.

Autrement dit, on peut s'approcher autant qu'on veut de la limite : pour une distance à la limite, on peut trouver un indice à partir duquel toutes les valeurs prises par la suite sont à moins de cette distance.

On peut donc exprimer ça en terme de voisinage : pour tout voisinage contenant la limite, on peut trouver un indice à partir duquel toutes les valeurs prises par la suite sont dedans. Cela donne une généralisation directe pour le cas des limites infinies.

On peut aussi exprimer ça en terme de sup et d'inf : on prend sup de inf et inf de sup, qui sont égales ssi la fonction a une limite. Cela traite du même coup le cas des limites infinies.

On sent bien qu'on retrouve la définition des réels à partir des fractions rationnelles.

Ouille, pourquoi un réel sur D ? si D n'est pas défini comme sous ensemble de R ? R puissance n ?  Pourquoi pas sur C infini ?
L'idée y est, c'est presque ça. Cauchy doit quand même se retourner un peu dans sa tombe.
Pourquoi ?
On définit la distance et la frontière sous cette forme, et l'alpha (A) n'est pas nécessairement un réel.

Je vais préciser : La formule telle que je l'ai donnée n'est valable que pour D un sous-ensemble de R. (par contre, A n'a pas besoin d'appartenir à D). Mais c'est plutôt rare de calculer des limites pour autre chose.
Cela dit, avec quelques ajustements (définition d'une relation d'ordre, dérivée partielle, voisinages) on peut adapter la formule à d'autres ensembles.

Il faut commencer par parler des suites avant les fonctions des réels. Tu mets la charrue avant les bœufs.

Pas toujours nécessaire de commencer par des suites ou d'introduire la notion de voisinage pour que ça fonctionne (même si c'est bien pratique)